専共通 現代数学Ⅰ 1年・前期・選択・学修2単位
担当教員 中川 英則 連絡先 
講義の概要 現代数学Ⅰという授業タイトルですが、そんなに仰々しいものではありません。内容は、高専本科1~3年生の間で学んできた「解析」および本科4,5年生の応用数学の授業で一度学んだ「複素解析」について細かな点の補足です。授業では、複素関数の実部,虚部に当たる実関数について、その偏導関数の連続性を仮定した説明を行ってゆきます。
到達目標 最終目標は、「正則な関数⇔ベキ級数で表せる関数」および「ベキ級数は収束円内で正則関数を表し、項別微分,項別積分が可能でその収束半径は変わらない。」ことの証明を通した理解を目指します。
日程授業項目理解すべき内容 理解度
(1~4)
前期 第1週 イントロダクション 本科で学んだ複素解析の復習(複素平面と極形式、ド・モアブルの定理と複素数のn乗根)  
第2週 命題と推論 命題、否定命題の作り方、命題の同値性、推論の方法、背理法、命題関数、全称命題,存在命題とその順序 他  
第3週 集合と写像 本科で学んだ集合の復習、集合の像、逆像、全射、単射、全単射 他  
第4週 実数の基本性質,実数列の収束 実数の連続性、実数列の収束、ε-N 論法、
収束する数列⇔コーシー列
 
第5週 連続関数の基本性質 連続関数の基本性質(閉区間における最大値・最小値の定理)、ε-δ 論法、一様連続性  
第6週 リーマン和の基本定理 閉区間で連続な関数の積分可能性  
第7週 複素数の収束と極限 複素数の収束と極限  
第8週 複素関数と正則性 複素関数の微分、正則性とコーシー・リーマンの方程式  
第9週 正則性と複素積分1 複素積分とその性質、コーシーの積分定理  
第10週 正則性と複素積分2 正則関数の積分表示、グルサーの定理、モレラの定理  
第11週 級数1 絶対収束、コーシーの判定法、ベキ級数、収束半径とその求め方の練習  
第12週 級数2 ベキ級数は収束円内で正則関数を表すこと、ベキ級数は項別微分、項別積分が可能でその収束半径は変わらないこと  
第13週 正則関数とベキ級数展開 正則な関数⇔ベキ級数で表せる関数  
第14週 複素積分と特異点 複素積分と特異点  
第15週 (期末試験)  
第16週 総復習 総復習  
学習教育目標 Aに対応 達成項目専攻科イ)に対応 JABEE
認定基準
(A-1),(c)に対応
教科書・参考書 教科書:基本的には黒板となりますが、資料も適宜配布します。
参考書:
瀬山士郎 「無限と連続の数学―微分積分学の基礎理論案内」(東京図書)
田島一郎 「解析入門」(岩波全書)
原惟行,松永秀章 「イプシロン・デルタ論法 完全攻略」(共立出版)
柴田敏男 「復刊 数学序論 -集合と実数-」 (共立出版)
田代嘉宏 「複素関数要論 (応用数学要論シリーズ 4) 」(森北出版)
遠山 啓 「関数論初歩(日評数学選書) 」(日本評論社)
神保道夫 「複素関数入門 (現代数学への入門)」 (岩波書店)
評価方法及び合格基準 成績の評価は、定期試験の成績70%、レポートの成績30%で行い、合計の成績が60点以上の者を合格とする。
学生への
メッセージ
本科で学んだ、数学A、数学B、解析学、代数・幾何、応用数学における学習内容を既知とします。授業ノートの内容を見直し、授業に関係する演習問題を解いておくこと。参考書の中には残念ながら絶版になっているものもありますが、茨城高専の図書館で借りて読むことができます。この授業がいつか何かで、少しでも皆さんのお役に立てることを祈って。